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無限大の賞金が得られるゲームがあったら
こんにちは講師の生澤です。
今回はあるパラドックスを紹介します。
コイントスを表がでるまで行い、いつ表がでるかによりもらえる賞金が変わるゲームがあるとします。
例えば、1回目で表が出たら２円、２回目で表が出たら４円、３回目で表が出たら８円、４回目なら16円、5回目なら32円と変化していきます。
もし、10回目に表がでれば1024円もらえ、20回目に表が出れば104万８５７６円もらえます。
しかし、１０回目に表が出る確率は１０２４分の１で、２０回目に表が出る確率は104万８５７６分の１です。
つまり、高額が当たるようになるほど当たる確率は下がります。
ではこのゲームは参加費がいくらであれば参加したほうが得なのでしょうか？
１００万円以上もらえる可能性があるので１万円でも参加すべきなのか？それとも全然もらえない可能性もあるから参加すべきではないのか？
しかし、計算すると参加費がいくらであっても参加したほうが得という結果になります。
これはゲームで大体いくらくらいの賞金がもらえるのか（期待値）を計算すればわかります。
例えば、表が出れば１００円、裏が出れば２００円もらえるゲームでは、２分の１で２００円がもらえ、２分の１で１００円がもらえます。
よって期待値は1/2×２００＋1/2×１００＝１５０になり、１回あたりのゲームで大体１５０円もらえることになります。なので、このゲームなら参加費が１５０円より下なら参加すれば得ということになります。
つまり、参加費がゲームで得られる期待値より上か下かで得か損かが決まります。
ここで最初の問題の期待値を計算してみましょう。２分の１で２円、４分の１で４円、８分の１で８円・・・と続くので
1/2×２＋1/4×４＋1/8×８＋・・・1/1024×1024＋・・・＝∞
全ての項が１になり１＋１＋１＋・・・＝∞なので期待値は無限大になります。
では実際に1回100万円でこのゲームが開催されていれば参加したほうが良いのかという話になると答えは違います。理論上では無限回の試行回数がありましたが、実際には資金の上限があり何回も参加できません。参加回数が増えるほど賞金の平均値も増加するので、参加回数により適切な参加費が決まります。
このように、確率が極めて低い確率で大きな利益が得られるような事例で期待値が発散するのをサンクトペテルブルクのパラドックスと言います。
参照
youtube るーいのゆっくり科学
https://www.youtube.com/watch?v=KYCdr7rbMsY
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